今天我们就一起来学习一下用公式法解决三集合容斥原理的题目。三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种，三集合标准型容斥原理公式为：满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数-满足条件1和2的个数-满足条件1和3的个数-满足条件2和3的个数+三者都满足的个数=总个数-三者都不满足的个数;三集合非标准型容斥原理公式为：满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数-“只”满足两个条件的个数-2×三者都满足的个数=总个数-三者都不满足的个数。
 

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　　那么下面我们一起看几个例题，应用一下公式法去求解三集合容斥原理。

　　【例1】(2019新疆)某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲座，88人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参加两场讲座的有30人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人?

　　A.12

　　B.14

　　C.24

　　D.28

　　【答案】A

　　【解析】第一步，本题考查容斥原理，用公式法答题。

　　第二步，设没有报名参加其中任何一场讲座的有x人。根据三集合非标准型容斥原理公式，可列方程42+51+88-30-2×12=139-x，解得x=12。(或者使用尾数法答题)

　　因此，选择A选项。

　　【例2】(2018陕西)有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?

　　A.14

　　B.15

　　C.16

　　D.17

　　E.18

　　F.19

　　G.20

　　H.21

　　【答案】E

　　【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法答题。

　　第二步，按照三集合容斥标准型公式，直接设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18(可用尾数法计算)。

　　因此，选择E选项。

　　【例3】(2019河北)某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人?

　　A.2

　　B.3

　　C.5

　　D.7

　　【答案】C

　　【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法答题。

　　第二步，设参加三科竞赛的有x人，根据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40-0=22+27+25-24-2x，解得x=5。

　　因此，选择C选项。

　　通过上面三个例题我们发现，用公式法解决三集合容斥原理还是比较简单的，只要我们掌握好公式，把公式记牢，考场中直接套用公式，那么容斥原理类的题目还是比较容易拿分的，所以我们要牢记公式。