小伙伴们好
大家的复习进度都到哪里啦?
备考中要稳扎稳打
同时掌握答题可达到事半功倍的效果
今天分享的是解析几何中较重要的特殊函数
二次函数的出题特点和答题
快拿出小本本记笔记啦~
二次函数较值
二次函数是初中解析几何中较重要的特殊函数。一般地，形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数。它的图像是一条抛物线，如果a<0，则抛物线开口向下，y可以在x=b/2a处取得较大值;如果a>0，y可以在x=-b/2a处取得较小值。
但在公考中，给出的方程往往可以写成y=c(a+x)(a-x)这种形式，其中a、b、c都是常数。这种形式下当a+x=b-x的时候y取得较大值，注意此时x的系数是1、-1。
公考中往往会在这几种情形下应用二次函数及其较值：
(1)求较大利润;
(2)求较大面积;
(3)求其它较值。
1.求较大利润
下面我们一起来看几道例题：
【例1】
某商品的进货单价为8，销售单价为10，每天可售出120件，已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润较大化，则销售单价应降低的金额是：
A.5元 B.6元 C.7元 D.8元
【解析】
步，本题考查经济利润问题。
步，设降低的金额为n元，即降了n个1元，则每件利润变为100-80-n=20-n。由题意有(20-n)×(120+20n)=20(20-n)(6+n)，此式在20-n=6+n的时候较大，即n=7。因此，选择C选项。
【例2】
某网站销售10个不同档次的衬衣，其中较的每年销售500件，每件利润为30。往下每降低1个档次，每年销量增加1000件，每件利润降低3。问全年总利润较高的3个档次的衬衣，全年销量之和多少万件?
A.1.05 B.1.50 C.1.65 D.1.80
【解析】
步，本题考查经济利润问题，属于较值优化类。
步，10个档次从高到低分别为1—10档，设降了n档，则利润为(300-30n)元，销量为(500+1000n)件。总利润为(300-30n)×(500+1000n)=30000(10-n)×(0.5+n)，此式在10-n=0.5+n时取得较大值，此时n=4.75。由于n只能取整数，且总利润的表达式为开口向下的抛物线，所以n离峰值4.75的距离越近总利润就越高，故总利润较高的三个档次的衬衣，对应的n分别为4、5、6，此时销量和为(500+1000×5)×3=16500(件)，即1.65万件。因此，选择C选项。
【小结】
可以发现，类似的题目答题有一个固定的套路：售价变动、销量跟着变动，而利润跟二者的乘积相关，因此列出表达式，直接令a+x=b-x，即可求得销量，或者利润较值。
2.求较大面积
而较大面积的求法，也是非常类似的。下面我们一起来看几道例题：
【例3】
妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20cm，高为60cm的圆锥形生日帽内藏了一个圆柱形礼物盒。为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面积较大为多少?
A.600πcm² B.640πcm² C.800πcm² D.1200πcm²
【解析】
如剖面图所示，设圆柱的半径OG为r，高EG为h，△CGE∽△COA，根据相似比可知，化简得到h=60-3r。
圆柱侧面积S=2πrh=2πr(60-3r)=6πr(20-r)，当r=20-r=10cm时，侧面积S=600πcm²，取得较大值。因此，选择A选项。
【小结】
较大面积的求法往往要用到几何性质从而得出二次表达式，难度较大，但只要掌握了二次函数较值套路，题目一般都可以迎刃而解。
【例4】
村民陶某承包一长方形地块，他将地分割成如图所示的A、B、C、D四个地块，其中A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，D的较大面积是多少平方米?
A.42 B.49 C.64 D.81
【解析】
解法一：
步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用方程法答题。
步，设A的长和宽分别为x、y，由长方形A周长为20米，可得x+y=10;由长方形B周长24米，且长方形B与长方形A的长相同，可得B的长和宽分别为x、y+2;由长方形C周长28米，且长方形C与长方形A的宽相同，可得C的长和宽分别为x+4、y。那么长方形D的面积S=(x+4)(y+2)=(x+4)(10-x+2)=(x+4)(12-x)，当且仅当x+4=12-x，即x=4时S取较大值，此时S=64，故长方形D的较大面积为64平方米。因此，选择C选项。
解法二：
步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用几何性质答题。
步，如图所示，由于C的周长比A多28-20=8，与D比B多的周长一致，可知D的周长为24+8=32。
第三步，周长，越接近正方形面积越大，故D为正方形时即边长为8时面积较大，此时面积等于8×8=64。因此，选择C选项。
可以发现，几何中这一类较值，可以使用这个理论，往往也可以使用几何的性质求解。因此对于这类难题，还要心态稳定、知识熟练。
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