知识详解

　　1. 三集合标准型公式:

　　满足条件 1 的个数+满足条件 2 的个数+满足条件 3 的个数-满足条件 1 和 2 的个数-满足条件 1 和 3 的个数-满足条件 2 和 3 的个数+三者都满足的个数 = 总个数-三者都不满足的个数

　　2. 三集合非标准型公式:

　　满足条件 1 的个数+满足条件 2 的个数+满足条件 3 的个数- “只” 满足两个条件的个数-2×三者都满足的个数=总个数-三者都不满足的个数

　　3. 三集合图示标数型:

　　①特别注意 “满足某条件” 和 “只满足某条件” 的区别;

　　②特别注意有没有 “三个条件都不满足的情形”;

　　③标数时, 注意从中间向外标记。

　　例题精析

　　【例 1】 某翻译团队中, 每名译员都擅长英语、 日语、 俄语中的至少一门语言。 经统计, 擅长英语的有 17 人, 擅长日语的有 21 人, 擅长俄语的有 23 人; 擅长英语和日语的有 7 人, 擅长英语和俄语的有 6 人, 擅长日语和俄语的有 6 人; 擅长三门语言的仅占总人数的十五分之一, 则仅擅长英语的译员有 (  ) 人。

　　A. 4

　　B. 5

　　C. 6

　　D. 7

　　【答案】 D

　　【解析】 第一步, 本题考查容斥问题。

　　第二步, 设翻译团队总人数为 15x, 那么擅长三门语言的人数为 x。 题干中满足两个条件的分别给出, 故为三集合标准型容斥原理, 根据三集合标准型公式可列方程:17+21+23-7-6-6+x = 15x, 解得 x = 3, 那么仅擅长英语的有 17-7-6+3 = 7 (人)。

　　因此, 选择 D 选项。

　　【例 2】 某高校对一些学生进行问卷调查。 在接受调查的学生中, 准备参加注册会计师考试的有 63 人, 准备参加英语六级考试的有 89 人, 准备参加计算机考试的有 47人, 三种考试都准备参加的有 24 人, 准备选择两种考试参加的有 46 人, 不参加其中任何一种考试的有 15 人。 问接受调查的学生共有多少人?

　　A. 120

　　B. 144

　　C. 177

　　D. 192

　　【答案】 A

　　【解析】 第一步, 本题考查容斥问题, 属于三集合容斥类, 用公式法解题。

　　第二步, 根据三集合容斥非标准公式 (总体 I =条件 A+条件 B+条件 C-只满足两个条件-2×满足三个条件+都不满足条件), 可知接受调查的学生共有 63+89+47-46-24×2+15 = 120 (人)。

　　因此, 选择 A 选项。